题目内容
【题目】【阅读理解】对于任意正实数a、b,因为≥0,所以
≥0,所以
≥2
,只有当
时,等号成立.
【获得结论】在≥2
(a、b均为正实数)中,若
为定值
,则
≥2
,只有当
时,
有最小值2
.
根据上述内容,回答下列问题:若>0,只有当
= 时,
有最小值 .
【探索应用】如图,已知A(-3,0),B(0,-4),P为双曲线(
>0)上的任意一点,过点P作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值,并说明此时四边形ABCD的形状.
【答案】(1)1,2(2)菱形
【解析】分析:(1)根据题目所给信息可知m+≥2
,且当m=
时等号成立,可得出答案;
(2)可设P(x, ),可表示出AC和BD,则四边形ABCD的面积为S四边形ABCD=2(x+
)+12,再利用所给信息可得到其最小值,此时x=3,可得出AC=BD,可得出四边形ABCD为菱形.
详解:(1)根据题目所给信息可知m+≥2
,且当m=
时等号,∴当m=1时,m+
≥2,即当m=1时,m+
有最小值2.故答案为:1,2;
(2)设P(x, ),则C(x,0),D(0,
),∴CA=x+3,BD=
+4,∴S四边形ABCD=
CA×BD=
(x+3)(
+4),化简得:S=2(x+
)+12.∵x>0,
>0,∴x+
≥2
=6,只有当x=
,即x=3时,等号成立,∴S≥2×6+12=24,∴四边形ABCD的面积有最小值24,此时,P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四边形ABCD是菱形.

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