Question

【题目】如图，在直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；

（3）设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣8，0）或（0，0）或（﹣3，0）或（﹣5，0）；（3）存在满足条件的M点，其坐标为（0，4+4）或（0，4﹣4）或（0，0）．

【解析】试题分析：（1）由方程可求得OA、OB的长，则可求得的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）设Q(x,0)，则CQ=|x+4|，分和两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于的方程，则可求得的值，可求得点坐标；
（3）当为菱形的边时，则有可求得点坐标；当为对角线时，由图形可知点即为所求，可求得点坐标．

试题解析：(1)解方程可得x=4或x=8，

∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且OB>OA，

∴OA=4，OB=8，

∴A(0,4),B(8,0)，

设直线AB解析式为y=kx+b，

∴ 解得

∴直线AB解析式为

(2)∵四边形AOCD为正方形，

∴AD=CD=OC=OA=4，

∴C(4,0)，

在中，令x=4，可得y=2，

∴PC=PD=2，

设Q(x,0)，则CQ=|x+4|，

∵以P、C.Q为顶点的三角形与△ADP相似，

∴有△PCQ∽△PDA和△PCQ∽△ADP两种情况，

①当△PCQ∽△PDA时,则有,即,解得x=0或x=8,此时Q点坐标为(8,0)或(0,0)；

②当△PCQ∽△ADP时,则有即,解得x=3或x=5,此时Q点坐标为(3,0)或(5,0)；

综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(8,0)或(0,0)或(3,0)或(5,0)；

(3)由题意可设M(0,y)，

∵A(0,4),C(4,0)，

∴

当AC为菱形的一边时,则有AC=AM,即|y4|=,解得y=4±,此时M点坐标为或

当AC为菱形的对角线时,则有MA=MC,由题意可知此时M点即为O点,此时M点坐标为(0,0)；

综上可知存在满足条件的M点,其坐标为或或(0,0).