Question

如图，PA切⊙O于A，PBC过圆心O，交⊙O于B、C，CD⊥PA于D，交⊙O于点E．
（1）求证：CA平分∠BCD．
（2）若DC=6，AC=4，求⊙O的半径．
（3）作AG⊥BC于G，连接AB、DG，判断AB与DG的位置关系，并证明．

Answer 1

（1）证明：连接OA，
∵PD切⊙O于A，
∴OA⊥PD，
∵CD⊥PD，
∴∠PAO=∠PDC=90°，
∴OA∥CD，
∴∠OAC=∠ACD，
在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACD=∠OCA，
∴CA平分∠BCD；
（2）连接BA，
在⊙O中，BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠PDC，
∵∠ACO=∠ACD，
∴△BCA∽△ACD，
∴=，
∴AC²=BC•DC，即（4）²=6BC，
∴BC=8，
∴⊙O的半径为4；
（3）AB∥DG，理由为：
证明：∵AG⊥BC，
∴∠AGC=∠ADC=90°，
在△ACG和△ACD中，
，
∴△ACG≌△ACD（AAS），
∴AG=AD，∠GAC=∠DAC，
∴AC⊥GD，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=∠GMC=90°，
∴AB∥DG．
分析：（1）连接OA，由PD为圆的切线，利用切线的性质得到PD与OA垂直，再由CD与PD垂直，确定出OA与CD平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，即CA为角平分线；
（2）连接AB，由CA为角平分线，得到一对角相等，再由BC为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到一对直角相等，利用两对角相等的两三角形相似得到三角形ABC与三角形ACD相似，由相似得比例，将DC与AC的值代入计算即可求出BC的长，进而确定出圆的半径；
（3）AB与DG平行，理由为：过A作AG垂直于BC，连接DG，由CA为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，AC为公共边，利用AAS得到三角形ACD与三角形ACG全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=AG，AC为角平分线，利用三线合一得到AC与DG垂直，再由BA与AC垂直，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行即可得到AB与DG平行．
点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．