Question

如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE=1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE=3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC-BD）=80；④DF=DE．其中正确结论的个数为

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：可设DE=3k，则AE=4k，AD=5K，BE=k，从而求出边长及高，计算面积；连接BD、AC，根据勾股定理可求对角线的长度；
作DH⊥BC于H点，则DH=DE，比较DH与DF的大小．
解答：解：设DE=3k，则AE=4k，AD=5K，BE=k=1，
∴AB=5，DE=3．故①正确；
S_梯形DEBC=×（1+5）×3=9，故②正确；
∵DE=3，EB=1，∴DB=．
又∵S_ABCD=AB×DE=5×3=15，
S_ABCD=×BD×AC，
∴15=××AC，
AC=3．
（AC+BD）（AC-BD）
=AC²-BD²=（3）²-²=90-10=80．故③正确；
作DH⊥BC于H点．
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD=∠CBD，
∴DE=DH．
又DH＜DF，
∴DE＜DF．故④错误．
所以①②③正确．
故选C．
点评：此题主要考查了菱形的性质及面积计算，有一定的综合性，属中等难度．