题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示.下列结论:①方程=ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3:②a﹣b+c=0;③8a+c<0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1<x<3;⑤当y随x的增大而增大时,一定有x<O.其中结论正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对①进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据二次函数的性质对④进行判断.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
而点(-1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3,所以①正确;
当x=-1时,y=0,即a-b+c=0;故②正确,
∵x=-=1,即b=-2a,
而x=-1时,y=0,即a-b+c=0,
∴a+2a+c=0,
∴3a+c=0,
∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∴5a<0,
∴8a+c<0;故③正确;
当y>0时,函数图象在x轴的上面,
∴x的取值范围是-1<x<3;故④正确;
⑤当x<1时,y随x增大而增大,当y随x的增大而增大时,一定有x<0,
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x增大而增大,当y随x的增大而增大时,一定有x<0,
所以⑤错误.
故选:D.
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