题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于P.弦CE平分∠ACB,交直径AB于点F,连结BE.

(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)探究线段PC,PF之间的大小关系,并加以证明;
(3)若tan∠PCB= ,BE= ,求PF的长.

【答案】
(1)解:连接OC.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA.

∵PC是⊙O的切线,AD⊥CD,

∴∠OCP=∠D=90°,

∴OC∥AD.

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC.即AC平分∠DAB


(2)解:PC=PF.

证明:∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°,

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB.

又∵∠ACE=∠BCE,∠PFC=∠CAB+∠ACE,∠PCF=∠PCB+∠BCE.

∴∠PFC=∠PCF.

∴PC=PF


(3)解:连接AE.

∵∠ACE=∠BCE,

=

∴AE=BE.

又∵AB是直径,

∴∠AEB=90°.

AB=

∴OB=OC=5.

∵∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,

∴△PCB∽△PAC.

∵tan∠PCB=tan∠CAB=

=

设PB=3x,则PC=4x,在Rt△POC中,(3x+5)2=(4x)2+52

解得x1=0,

∵x>0,∴

∴PF=PC=


【解析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CD,则AD∥OC,根据等边对等角,以及平行线的性质即可证得;(2)根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF,根据等角对等边即可证得;(3)证明△PCB∽△PAC,根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值,在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解.

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