题目内容
【题目】已知反比例函数y= (k为常数).
(1)若点P1( ,y1)和点P2(﹣ ,y2)是该反比例函数图象上的两点,试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小;
(2)设点P(m,n)(m>0)是其图象上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M.若tan∠POM=2,PO= (O为坐标原点),求k的值,并直接写出不等式kx+ >0的解集.
【答案】
(1)解:∵﹣k2﹣1<0,
∴反比例函数y= 在每一个象限內y随x的增大而增大,
∵﹣ < <0,
∴y1>y2
(2)解:点P(m,n)在反比例函数y= 的图象上,m>0,
∴n<0,
∴OM=m,PM=﹣n,
∵tan∠POM=2,
∴ = =2,
∴﹣n=2m,
∵PO= ,
∴m2+(﹣n)2=5,
∴m=1,n=﹣2,
∴P(1,﹣2),
∴﹣k2﹣1=﹣2,
解得k=±1,
①当k=﹣1时,则不等式kx+ >0的解集为:x<﹣ 或0<x< ;
②当k=1时,则不等式kx+ >0的解集为:x>0
【解析】(1)先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性,再根据P1、P2两点的横坐标判断出两点所在的象限,故可得出结论.(2)根据题意求得﹣n=2m,根据勾股定理求得m=1,n=﹣2,得到P(1,﹣2),即可得到﹣k2﹣1=﹣2,即可求得k的值,然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用解直角三角形的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法).