题目内容
【题目】（12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1．25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（x， 
）；
（2）当x=2时，S有最大值，最大值是
；
（3）x的值是2秒或
秒．
【解析】试题（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式
，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；
（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；
（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；
②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．
试题解析：解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1．25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB=
=5，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，
∴△OPN∽△OAB，
∴
，
即
，
解得：OP=x，PN= 
，
∴点N的坐标是（x， 
）；
（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN= 
，
∴S=
OMPN=
（4﹣x） 
=﹣
+
x，
∴S与x之间的函数表达式为S=﹣
+
x（0＜x＜4），
配方得：S=﹣
+
，
∵﹣
＜0，
∴S有最大值，
当x=2时，S有最大值，最大值是
；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：
则MN∥AB，
此时OM=4﹣x，ON=1．25x，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴
，
即
，
解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：
则∠ONM=∠OAB，
此时OM=4﹣x，ON=1．25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，
∴
，
即
，
解得：x=
；
综上所述：x的值是2秒或
秒．
