题目内容
【题目】△ABC和△ADE是有公共顶点的三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
(1) ①如图1，∠ADE＝∠ABC＝45°，求证：∠ABD＝∠ACE．
②如图2，∠ADE＝∠ABC＝30°，①中的结论是否成立？请说明理由．
(2)在(1) ①的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，画图并求PB的长度．
【答案】（1）见详解
（2）结论仍成立,理由见详解
（3）PB=
或
.
【解析】
（1）①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；
②先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；
(2)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
解：(1)①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE；
②∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠ABC＝30°，∴
,
,
∴
,
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE．
(2)作草图如图所示，分为两种情况：
①当点E在AB上时，
∵∠BAC＝∠DAE，
又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE；
∴△AEC∽△BPE，∴
，
∵AB＝6，AD＝4，
∴EB＝2，
，
∴
，解得
．
②当点E在AB延长线上时，
∵∠BAC＝∠DAE，又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE；
∴△ABD∽△DPC，
∴
，
∵AB＝6，AD＝4，
∴DC＝2，
，
∴
，解得
．
∴
．
综上，或．
【题目】在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，郑州市某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作”四门创客课程，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如表所示），将调查结果整理后绘制成图1、图2两幅均不完整的统计图表．
图1
创客课程 | 频数 | 频率 |
A | 36 | 0.45 |
B | 0.25 | |
C | 16 | b |
D | 8 | |
合计 | a | 1 |
最受欢理的创客课程词查问卷
你好!这是一份关于你喜欢的创客深程问卷调查表，请你在表格中选择一个（只能选择一个）你最喜欢的课程选项在其后空格内打“√“，非常感谢你的合作．
选项 | 创客课程 | |
A | “3D”打印 | |
B | 数学编程 | |
C | 智能机器人 | |
D | 陶艺制作 |
请根据图表中提供的值息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ．b＝ ；
（2）“D”对应扇形的圆心角为 ；
（3）根据调查结果，请你估计该校2000名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数．
