题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，3）B（
-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况．试求点C1（
，0）移动到点C2（3
，0）点F移动的行程．
-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况．试求点C1（
| 3 |
| 3 |
（1）证明：∵AO是两圆内的公切线，
∴AO2=AE•AB=AF•AC，
∴
=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；
（2）∵△AFE∽△ABC，
∴
=
=
，
当AF=AE，即AB=AC时，OC=OB
∴m=2，
当AE=FE，即AB=BC时，
=2+m，
∴m=
-2
当AF=FE，即AC=BC时，9+m2=（2+m）2，
解得m=
∴m的值为2或
-2或
；
（3）∠AFO始终为直角，且OA为定值
∴OA=3，OC1=
，
∴tan∠OAC1=
，
∴∠OAC1=30°，
同理可得∠OAC2=60°
∴∠C1AC2=30°
∴点F移动的行程为
=
．
∴AO2=AE•AB=AF•AC，
∴
| AE |
| AF |
| AC |
| AB |
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；
（2）∵△AFE∽△ABC，
∴
| AF |
| AB |
| AE |
| AC |
| FE |
| BC |
当AF=AE，即AB=AC时，OC=OB
∴m=2，
当AE=FE，即AB=BC时，
| 4+9 |
∴m=
| 13 |
当AF=FE，即AC=BC时，9+m2=（2+m）2，
解得m=
| 5 |
| 4 |
∴m的值为2或
| 13 |
| 5 |
| 4 |
（3）∠AFO始终为直角，且OA为定值
∴OA=3，OC1=
| 3 |
∴tan∠OAC1=
| ||
| 3 |
∴∠OAC1=30°，
同理可得∠OAC2=60°
∴∠C1AC2=30°
∴点F移动的行程为
(2×30)×π×
| ||
| 180 |
| π |
| 2 |
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