Question

【题目】如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．

（1）分别求图①，图②和图③中，∠APD的度数.

（2）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)60°，90°，108°（2）∠APD=

【解析】试题分析：(1)、由观察图形可以看出∠APD是△APB的一个外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度数，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°；(2)、∠APD易证等于∠M，即等于多边形的内角；(3)、点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，∠APD等于正n边形的内角，就可以求出．

试题解析：(1)、∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．

∵BE=CD， ∴△ABE≌△BCD． ∴∠BAE=∠CBD．

∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°

(2)、同理可证：△ABE≌△BCD， ∴∠AEB+∠DBC=180°-90°=90°，

∴∠APD=∠BPE=180°-90°=90°； △ABE≌△BCD，

∴∠AEB+∠DBC=180°-108°=72°， ∴∠APD=∠BPE=180°-72°=108°

(3)、能．如图，

点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为.