Question

【题目】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值．

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析

【解析】

（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；

（2）设BD=x，是边上的高，利用勾股定理列出方程即可求出BD；

（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．

解：（1）梯形的面积为，

也可以表示为，

，

即

（2）

在中，

在中，

所以，

解得

（3）∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a+3ab+b

∴边长为：(a+b)，(a+2b)

由此可画出的图形为：