Question

阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA="3" ，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：图1中∠APB的度数等于　　   .
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于     ，正方形的边长为     ；
（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于     ，正六边形的边长为     ．

Answer 1

；（1）135°，；（2）120°，

试题分析：根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质即可得到结果；
（1）参照题目给出的解题思路，可将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△A DP′，根据旋转的性质知：△ABP≌△A DP′，进而可判断出△APP′是等腰直角三角形，可得∠A P′P=45°；然后得到△DPP′是直角三角形，即可求得结果；
（2）方法同（2），再结合正六边形的性质即可求得结果．
由题意得△APP′是等边三角形，则∠A P′C=60°
∵
∴△CPP′是直角三角形
∴∠CP′P=90°
∴∠AP′C=150°
∴∠APB=150°；
（1）将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△A DP′，
由题得△ABP≌△A DP′，△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P=45°
∵
∴△DPP′是直角三角形，
∴∠DP′P=90°
∴∠DP′A=135°
∴∠APB=135°，正方形的边长为；
（2）方法同（2），∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为
点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．