题目内容
【题目】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=
，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4,3;(2)3或
．（3）DQ的长度分别为
、
；
或
．
【解析】试题分析：（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．
试题解析：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=
，
由勾股定理得：BD=
=
=
．
∵
=
BDAE=ABAD，
∴AE=
=4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，
由勾股定理得：BE=3；
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：
由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．
①当点F′落在AB上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠3=∠4，
∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3；
②当点F′落在AD上时，
∵AB∥A′B′，
∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1，
∴∠5=∠6，
又易知A′B′⊥AD，
∴△B′F′D为等腰三角形，
∴B′D=B′F′=3，
∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=，即m=；
（3）存在．理由如下：
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，
∴∠3=∠Q，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=
=
．
∴DQ=BQ﹣BD=；
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．
∵∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：
，
即
，
解得：BQ=
，
∴DQ=BD﹣BQ=
=；
③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，
∴∠4=90°﹣∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠4=90°﹣∠1．
∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1，
∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1，
∴∠A′QB=∠A′BQ，
∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=
=
，
∴DQ=BD﹣BQ=；
④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴BQ=BA′=5，
∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=．
综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；
DQ的长度分别为或或或．
