题目内容

【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5AD=AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AFBF

1)求AEBE的长;

2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段ABAD上时,直接写出相应的m的值.

3)如图,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角αα180°),记旋转中的△ABF△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的PQ两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)4,3;(2)3.(3DQ的长度分别为

【解析】试题分析:(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解;

2)依题意画出图形,如答图2所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m的值;

3)在旋转过程中,等腰△DPQ4种情形,如答图3所示,对于各种情形分别进行计算.

试题解析:(1)在Rt△ABD中,AB=5AD=

由勾股定理得:BD===

=BDAE=ABAD

∴AE==4

Rt△ABE中,AB=5AE=4

由勾股定理得:BE=3

2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:

由对称点性质可知,∠1=∠2

由平移性质可知,AB∥A′B′∠4=∠1BF=B′F′=3

当点F′落在AB上时,

∵AB∥A′B′

∴∠3=∠4

∴∠3=∠2

∴BB′=B′F′=3,即m=3

当点F′落在AD上时,

∵AB∥A′B′

∴∠6=∠2

∵∠1=∠2∠5=∠1

∴∠5=∠6

又易知A′B′⊥AD

∴△B′F′D为等腰三角形,

∴B′D=B′F′=3

∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=,即m=

3)存在.理由如下:

在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:

如答图3﹣1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,易知∠2=2∠Q

∵∠1=∠3+∠Q∠1=∠2

∴∠3=∠Q

∴A′Q=A′B=5

∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9

Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ==

∴DQ=BQ﹣BD=

如答图3﹣2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,易知∠2=∠P

∵∠1=∠2

∴∠1=∠P

∴BA′∥PD,则此时点A′落在BC边上.

∵∠3=∠2

∴∠3=∠1

∴BQ=A′Q

∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ

Rt△BQF′中,由勾股定理得:

解得:BQ=

∴DQ=BD﹣BQ==

如答图3﹣3所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,易知∠3=∠4

∵∠2+∠3+∠4=180°∠3=∠4

∴∠4=90°﹣∠2

∵∠1=∠2

∴∠4=90°﹣∠1

∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1

∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1

∴∠A′QB=∠A′BQ

∴A′Q=A′B=5

∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1

Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ==

∴DQ=BD﹣BQ=

如答图3﹣4所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,易知∠2=∠3

∵∠1=∠2∠3=∠4∠2=∠3

∴∠1=∠4

∴BQ=BA′=5

∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=

综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使△DPQ为等腰三角形;

DQ的长度分别为

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