Question

已知：如图，直线MN和⊙O切于点C，AB是⊙O的直径，AE⊥MN，BF⊥MN且与⊙O交于点G，垂足分别是E、F，AC是⊙O的弦，
（1）求证：AB=AE+BF；
（2）令AE=m，EF=n，BF=p，证明：n²=4mp；
（3）设⊙O的半径为5，AC=6，求以AE、BF的长为根的一元二次方程；
（4）将直线MN向上平行移动至与⊙O相交时，m、n、p之间有什么关系？向下平行移动至与⊙O相离时，m、n、p之间又有什么关系？

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴AE∥BF，而AB≠EF，
∴四边形ABFE为梯形，
∵直线MN和⊙O切于点C，
∴OC⊥MN，
∴OC∥AE∥BF，
∴OA=OB，
∴OC为梯形ABFE的中位线，
∴AE+BF=2OC，
即：AB=AE+BF；

（2）证明：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ECA+∠FCB=90°，
∵∠CBF+∠FCB=90°，
∴∠CBF=∠ECA，
∵∠AEC=∠BFC=90°，
∴△AEC∽△CFB，
∴EC：BF=AE：CF，
∴CF•EC=AE•BF，
∵CF=EC=

1

2

EF，
∴EF²=4AE•BF，
∵AE=m，EF=n，BF=p，
∴n²=4mp；

（3）∵AB=AE+BF，⊙O的半径为5，AC=6，
∴AE+BF=10，BC=

AB2-AC2

=8，
∵△AEC∽△CFB，
∴AC：BC=EC：BF=6：8=3：4，
∵EC=FC，
∴CF：BF=3：4，
设CF=3x，BF=4x，
则（3x）²+（4x）²=64，
解得：x=

8

5

，
即BF=

32

5

，
∴AE=10-

32

5

=

18

5

，
∴AE•BF=

576

25

，
∴以AE、BF的长为根的一元二次方程为：x²-

576

25

x+10=0；

（4）由平移的性质，可得：四边形EFF′E′是矩形，
∴E′F′=EF，
∵EF²=4AE•BF，
∴E′F′²=4AE•BF，
∴n²=4mp；
∴将直线MN向上平行移动至与⊙O相交时，m、n、p之间的关系为：n²=4mp；向下平行移动至与⊙O相离时，m、n、p之间的关系为：n²=4mp．