Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF=AE连接BE

（1）发现问题：如图①，若E是线段AC的中点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系

（2）探究问题：如图②，若E是线段AC上任意一点，连接EF，其他条件不变，猜想线段BE与EF的数量关系是什么？请证明你的猜想

（3）解决问题：如图③，若E是线段AC延长线上任意一点，其他条件不变，且∠EBC=30°，AB=3请直接写出AF的长度

Answer 1

【答案】（1）BE=EF；（2）BE=EF，证明见解析；（3）

【解析】

（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；

（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；

（3）过点A作AM⊥BC于点M，根据三角形外角的性质求得∠E=30°，然后根据含30°直角三角形的性质求AE，CM，AC的长，继而利用勾股定理求解，

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是线段AC的中点，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

故答案为：BE=EF；

（2）结论成立；理由如下：

过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等边三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．

（3）过点A作AM⊥BC于点M

由（1）可知，△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°

又∵∠EBC=30°，

∴∠ABE=90°，∠E=30°

在Rt△ABE中，AE=2AB=6

∴CF=6

又在等边△ABC中，AM⊥BC

∴CM=，

∴在Rt△AMF中，．