题目内容

如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A.二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
(1)求点A与点C的坐标;
(2)当四边形AOBC为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式.
(1)∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
∴顶点A的坐标为(1,-2).
∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.
∴二次函数y=ax2+bx的对称轴为:直线x=1,
∴点C和点O关于直线x=1对称,
∴点C的坐标为(2,0).

(2)因为四边形AOBC是菱形,所以点B和点A关于直线OC对称,
因此,点B的坐标为(1,2).
因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B(1,2),C(2,0),
所以
a+b=2
4a+2b=0

解得
a=-2
b=4

所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x.
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