题目内容

如图:在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,与两坐标轴交点为点A和点C,与抛物线y=ax2+ax+b交于点B,其中点A(0,2),点B(-3,1),抛物线与y轴交点D(0,-2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点C的坐标;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)将(-3,1),(0,-2)代入得:
1=9a-3a+b
-2=b
解得
a=
1
2
b=-2

∴抛物线的解析式为:y=
1
2
x2+
1
2
x-2


(2)过B作BE⊥x轴于E,则E(-3,0),
易证△BEC≌△COA,
∴BE=AO=2,EB=CO=1,
∴C(-1,0);

(3)延长BC到P,使CP=BC,连接AP,
则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形
过P作PF⊥x轴于F,易证△BEC≌△PFC,
∴CF=CE=2PF=BE=1,
∴P(1,-1),
将(1,-1)代入抛物线的解析式满足;
若∠CAP=90°,AC=AP,
则四边形ABCP为平行四边形,
过P作PG⊥x轴于G,易证△PGA≌△CEB,
∴PG=2AG=1,
∴P(2,1)在抛物线上,
∴存在P(1,-1),(2,1)满足条件.
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