Question

【题目】已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OC=3OB，B（1，0），

∴C（0，﹣3）．

把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，

∴抛物线的解析式y=x2+2x﹣3

（2）

解：由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，

如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．

设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），

DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+ ）2+ ，

∴﹣1＜0，

∴当x=- 时，DM有最大值 ，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×4×3+ ×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+ × =

（3）

解：存在．

讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，

此时四边形ACP1E1为平行四边形．

∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3

∴x1=0，x2=﹣2．

∴P1（﹣2，﹣3）．

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，﹣3），

∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0

解得x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ，

此时存在点P2（﹣1+ ，3），P3（﹣1﹣ ，3），

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：

P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+ ，3），P3（﹣1﹣ ，3）．

【解析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）图，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC+S△ACD ， 转化为二次函数求最值；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1 ， 过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ， 此时四边形ACP1E1为平行四边形．平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形．