题目内容
【题目】如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=﹣ (t﹣19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
【答案】
(1)解:∵点C到ED的距离是11米,
∴OC=11,
设抛物线的解析式为y=ax2+11,由题意得B(8,8),
∴64a+11=8,
解得a=﹣ ,
∴y=﹣ x2+11
(2)解:水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至多为11﹣5=6(米),
∴6=﹣ (t﹣19)2+8,
∴(t﹣19)2=256,
∴t﹣19=±16,
解得t1=35,t2=3,
∴35﹣3=32(小时).
答:需32小时禁止船只通行
【解析】(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式,把B坐标代入即可求解;(2)水面到顶点C的距离不大于5米时,即水面与河底ED的距离h至多为6,把6代入所给二次函数关系式,求得t的值,相减即可得到禁止船只通行的时间.

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