Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接CO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠FAB，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥FD，

∵CE⊥DF，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）

证明：连接BC，

在Rt△ACE中，AC= = = ，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠BCA=∠CEA，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△ABC∽△ACE，

∴ ，

∴ = ，

∴AB=5，

∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．

【解析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．