Question

【题目】若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；
（2）如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线（要求：保留作图痕迹）；
（3）在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在四边形ABCD中，对角线AC是黄金线，

∴△ABC是等腰三角形，

∵AB＜AC，

∴AB=BC或AC=BC，

①当AB=BC时，

∵AB=AD=DC，

∴AB=BC=AD=DC，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

此种情况不符合黄金四边形定义，

②AC=BC，

同理，BD=BC，

∴AC=BD=BC，易证得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，

∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，

且∠DCA＜∠DCB，

∴∠DAC＜∠CAB

又由黄金四边形定义知：∠CAB=2∠DAC，

设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，

则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，

∴∠DAB=∠ADC=3x°，

而四边形的内角和为360°，

∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，

答：四边形ABCD各个内角的度数分别为108°，72°，108°，72°．

（2）解：由题意作图为：

（3）解：∵AB=BC，∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，

ⅰ）当AC为黄金线时，

∴△ACD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，AC＞BC，

∴AD=CD或AD=AC，

当AD=CD时，则AB=BC=CD=AD，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，如图3，此种情况不符合黄金四边形定义，

∴AD≠CD，

当AD=AC时，由黄金四边形定义知，∠ACD=∠D=15°或60°，

此时∠BAD=180°（不合题意，舍去）或90°（不合题意，舍去）；

ⅱ）当BD为黄金线时，

∴△ABD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

①当AB=AD时，△BCD≌△BAD，

此种情况不符合黄金四边形定义；

②当AB=BD时，AB=BD=BC=CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠CBD=60°，

∴∠A=30°或120°（不合题意，舍去），

∴∠ABC=180°（不合题意，舍去），

此种情况也不符合黄金四边形定义；

③当AD=BD时，设∠CBD=∠CDB=y°，则∠ABD=∠BAD=（2y）°或 ，

∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，

当∠ABD=2y°时，y=40，

∴∠BAD=2y=80°；

当 时，y=80，

∴ ；

综上所述：∠BAD的度数为40°，80°．

【解析】（1））先由对角线AC是黄金线，可知△ABC是等腰三角形，分两种情况：①AB=BC，②AC=BC，第一种情况不成立，②设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∠DAB=∠ADC=3x°，根据四边形内角和列等式可得x的值，计算各角的度数；（2）①以A为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D1 ， ②以C为圆心，AC为半径画弧，交圆O于D2 ， ③连接AD1、CD1、AD2、CD2；（3）先根据∠BAC=30°，计算∠ABC=120°，分情况进行讨论：ⅰ）当AC为黄金线时，则AD=CD或AD=AC，根据等腰三角形的性质及黄金四边形定义进行计算即可；ⅱ）当BD为黄金线时，分三种情况： ①当AB=AD时；②当AB=BD时，③当AD=BD时，分别讨论即可．