Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；

（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）；（3）P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解①当由 列出方程即可解决．②当时，由 列出方程即可解决．③当 时，由列出方程即可；

试题解析：(1)把A(5,0),B(1,0)两点坐标代入

得到

解得

∴抛物线的函数表达式为

(2)如图1中，

∵抛物线的对称轴x=2,

∴

∴矩形EFDH的周长

∵2<0，

∴时,矩形EHDF的周长最大,最大值为

(3)如图2中,设P(2,m)

①当 ∵

∴

解得m=7，

∴P1(2,7).

②当时,∵

∴

解得m=3，

∴P2(2,3).

③当时,∵

∴

解得m=6或1，

∴P3(2,6),P4(2,1)，

综上所述,满足条件的点P坐标为(2,7)或(2,3)或(2,6)或(2,1).