题目内容
如图所示,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A(
-2,0),B(-1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A,B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;
(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.
(1)由题意可得:
,
解得
;
∴抛物线的解析式为:y=x2-4;
(2)由于A、D关于抛物线的对称轴(即y轴)对称,连接BD.
则BD与y轴的交点即为M点;
设直线BD的解析式为:y=kx+b(k≠0),则有:
,
解得
;
∴直线BD的解析式为y=x-2,点M(0,-2);
(3)设BC与y轴的交点为N,则有N(0,-3);
∴MN=1,BN=1,ON=3;
S△ABM=S梯形AONB-S△BMN-S△AOM=
(1+2)×3-
×2×2-
×1×1=2;
∴S△PAD=4S△ABM=8;
由于S△PAD=
AD•|yP|=8,
即|yP|=4;
当P点纵坐标为4时,x2-4=4,
解得x=±2
,
∴P1(-2
,4),P2(2
,4);
当P点纵坐标为-4时,x2-4=-4,
解得x=0,
∴P3(0,-4);
故存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(-2
,4),P2(2
,4),P3(0,-4).
|
解得
|
∴抛物线的解析式为:y=x2-4;
(2)由于A、D关于抛物线的对称轴(即y轴)对称,连接BD.

则BD与y轴的交点即为M点;
设直线BD的解析式为:y=kx+b(k≠0),则有:
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解得
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∴直线BD的解析式为y=x-2,点M(0,-2);
(3)设BC与y轴的交点为N,则有N(0,-3);
∴MN=1,BN=1,ON=3;
S△ABM=S梯形AONB-S△BMN-S△AOM=
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∴S△PAD=4S△ABM=8;
由于S△PAD=
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即|yP|=4;
当P点纵坐标为4时,x2-4=4,
解得x=±2
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∴P1(-2
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当P点纵坐标为-4时,x2-4=-4,
解得x=0,
∴P3(0,-4);
故存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(-2
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