题目内容
已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2,且过点A(0,3).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标;
(3)如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M.问在这个一次函数图象上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标;
(3)如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M.问在这个一次函数图象上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2,且过点A(0,3),
代入得:-
=2,3=c,
解得:b=-4,c=3,
答:b=-4,c=3.
(2)把b=-4,c=3代入得:y=x2-4x+3,
当y=0时,x2-4x+3=0,
解得:x1=3,x2=1,
B?(3,0),C(1,0),
答:二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是(3,0),(1,0).
(3)存在:
理由是:y=x2-4x+3,
=(x-2)2-1,
顶点坐标是(2,-1),
设一次函数的解析式是y=kx+b,
把(0,0),(2,-1)代入得:
,
解得:
,
∴y=-
x,
设P点的坐标是(x,-
x),
取BC的中点M,以M为圆心,以BM为半径画弧交直线于Q、H,
则Q、H符合条件,由勾股定理得;
(x-2)2+(-
x-0)2=12,
解得:x1=
,x2=2,
∴Q(
,-
),H(2,-1);
过B作BF⊥X轴交直线于F,
把x=3代入y=-
x得:y=-
,
∴F(3,-
),
过C作CE⊥X轴交直线于E,
同法可求:E(1,-
),
∴P的坐标是(
,-
)或(2,-1)或(3,-
)或(1,-
).
答:存在,P的坐标是(
,-
)或(2,-1)或(3,-
)或(1,-
).
代入得:-
b |
2×1 |
解得:b=-4,c=3,
答:b=-4,c=3.
(2)把b=-4,c=3代入得:y=x2-4x+3,
当y=0时,x2-4x+3=0,
解得:x1=3,x2=1,
B?(3,0),C(1,0),
答:二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是(3,0),(1,0).
(3)存在:
理由是:y=x2-4x+3,
=(x-2)2-1,
顶点坐标是(2,-1),
设一次函数的解析式是y=kx+b,
把(0,0),(2,-1)代入得:
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解得:
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∴y=-
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设P点的坐标是(x,-
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取BC的中点M,以M为圆心,以BM为半径画弧交直线于Q、H,
则Q、H符合条件,由勾股定理得;
(x-2)2+(-
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解得:x1=
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∴Q(
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过B作BF⊥X轴交直线于F,
把x=3代入y=-
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∴F(3,-
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过C作CE⊥X轴交直线于E,
同法可求:E(1,-
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∴P的坐标是(
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答:存在,P的坐标是(
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