题目内容
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-6,0)、B(2,0),与y轴交于点C(0,-6).
(1)求此抛物线的函数表达式,写出它的对称轴;
(2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,使△MBC的周长最小,求点M的坐标;
(3)若点P(0,k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点,过点P作PD∥CM交x于点D,连接MD、MP,设△MPD的面积为S,求当点P运动到何处时S的值最大?
(1)求此抛物线的函数表达式,写出它的对称轴;
(2)若在抛物线的对称轴上存在一点M,使△MBC的周长最小,求点M的坐标;
(3)若点P(0,k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点,过点P作PD∥CM交x于点D,连接MD、MP,设△MPD的面积为S,求当点P运动到何处时S的值最大?
(1)抛物线与y轴交于点C(0,-6),
∴c=-6;
而抛物线过点A(-6,0)、B(2,0),
∴
;
解得a=
,b=2,
即此抛物线的函数表达式为y=
x2+2x-6;
它的对称轴为直线x=-2;
(2)∵A、B关于对称轴直线x=-2对称,M在对称轴上,
∴AM=BM;
所以当点A,M,C共线时,△MBC的周长最小;
直线AC的解析式是:y=-x-6,
令x=-2,得y=-4,
即点M的坐标为(-2,-4);
(3)点P(0,k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点,
∴-6<k<0;
∵PD∥CM,
∴∠ODP=∠OAC,∠OPD=∠OCA,
∴△ODP∽△OAC,
∴
=
,
而OA=OC,
∴OD=OP,即D(k,0);
∴△MPD的面积S=S△AOC-S△AMD-S△MCP-S△POD;
即S=
×6×6-
×(6+k)×4-
×(6+k)×2-
×|k|2=-
k2-3k;
当k=-3时,S的值最大,最大值为
.
∴c=-6;
而抛物线过点A(-6,0)、B(2,0),
∴
|
解得a=
1 |
2 |
即此抛物线的函数表达式为y=
1 |
2 |
它的对称轴为直线x=-2;
(2)∵A、B关于对称轴直线x=-2对称,M在对称轴上,
∴AM=BM;
所以当点A,M,C共线时,△MBC的周长最小;
直线AC的解析式是:y=-x-6,
令x=-2,得y=-4,
即点M的坐标为(-2,-4);
(3)点P(0,k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点,
∴-6<k<0;
∵PD∥CM,
∴∠ODP=∠OAC,∠OPD=∠OCA,
∴△ODP∽△OAC,
∴
OD |
OA |
OP |
OC |
而OA=OC,
∴OD=OP,即D(k,0);
∴△MPD的面积S=S△AOC-S△AMD-S△MCP-S△POD;
即S=
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当k=-3时,S的值最大,最大值为
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