Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，-2），过B、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴负半轴上，且PB=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，过M向直线BC作垂线，垂足为H．若M在y轴左侧，且△CHM∽△BOC，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
将x=0，y=-2代入，得-2=a（0+2）（0-1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+2）（x-1），即y=x²+x-2；

（2）如图1．由（1）知，抛物线的解析式为y=x²-x-2，则C（0，-2）．
设OP=x，则PB=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=

3

2

，即OP=

3

2

；

（3）∵△CHM∽△BOC，
∴∠MCH=∠CBO．
（i）如图2，当点H在点C上方时．
由（2）知，PB=PC，
∴∠PCB=∠CBP，即∠PCB=∠CBO．
又∵∠MCH=∠CBO，即∠MCB=∠CBO，
∴∠PCB=∠MCB，
∴点M是线段CP的延长线与抛物线的交点．
设直线CM的解析式为y=kx-2（k≠0），
把P（-

3

2

，0）代入，得-

3

2

k-2=0，
解得，k=-

4

3

，则直线CM的解析式是y=-

4

3

x-2，
∴

y=- 4 3 x-2 y=x2+x-2

，
解得，

x=0 y=-2

（舍去），或

x=- 7 3 y= 10 9

，
∴M（-

7

3

，

10

9

）；
（ii）如图3，点H在点C下方时．
∵∠MCH=∠CBO，
∴CM∥x轴，
∴y_M=-2，
∴x²+x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=-1
∴M（-1，-2）．
综上所述，点M的坐标是M（-

7

3

，

10

9

）或M（-1，-2）．