题目内容

已知:如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MNBC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交外角∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
(1)证明:∵FC平分∠ACD,
∴∠ACF=∠DCF,
∵MNBD,
∴∠OFC=∠DCF,
∴∠OFC=∠ACF,
∴OF=OC,
同理OE=OC,
∴OE=OF.

(2)当O为AC中点时,四边形AECF是矩形,
证明:∵O为AC中点,
∴OA=OC,
∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF平分∠ACD,CE平分∠ACB,
∴∠ACF=∠DCF=
1
2
∠ACD,∠ACE=∠BCE=
1
2
∠ACB,
∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=
1
2
∠ACD+
1
2
∠ACB=
1
2
×180°=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
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