Question

如图1，在矩形ABCD（AB＜BC）的BC边上取一点E，使BA=BE，作∠AEF=90°，交AD于F点，易证EA=EF．

（1）如图2，若EF与AD的延长线交于点F，证明：EA=EF仍然成立；
（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形（AB＜BC），在BC边上取一点E，使BA=BE，作∠AEF=∠ABE，交AD于F点．则EA=EF是否成立？若成立，请说明理由．
（3）由题干和（1）（2）你可以得出什么结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∵AB=BE，
∴∠AEB=∠FAE=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC=180°-90°-45°=45°=∠AFE，
∴∠FAE=∠AFE，
∴EA=EF；

（2）EA=EF仍成立，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵BA=BE，
∴∠AEB=∠BAE=∠FAE，
∵∠AEF=∠ABE，∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=∠AFE，
∴EA=EF；

（3）在任意四边形ABCD中，只要满足AB＜BC，AD∥BC，在BC边上取一点E，使BA=BE，作∠AEF=∠ABE，交AD于F点，一定可得EA=EF．