题目内容
如下图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形．设DP = x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y．
（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：
已知锐角a≠45°，tan2a 是角2a 的正切值，它可以用角a 的正切值tana 来表示，即
（a≠45°）．
根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围．（提示：在图丙中可设∠DAP = a ）
解：（1）由题意可得 ∠DAC =∠D′AC =∠ACE，∴ AE = CE．
设 AE = CE = m，则 BE = 10－m．
在Rt△ABE中，得 m2 = 82 +（10－m）2，m = 8.2．
∴ 重叠部分的面积 y =
? CE ? AB =×8.2×8 = 32.8（平方单位）．
另法 过E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO．
（2）由题意可得 △DAP≌△D′AP，
∴ AD′ = AD = 10，PD′ = DP = x．
在Rt△ABD′ 中，∵ AB = 8，∴ BD′ =
= 6，于是 CD′ = 4．
在Rt△PCD′ 中，由 x2 = 42 +（8－x）2，得 x = 5．
此时 y =? AD ? DP =×10×5 = 25（平方单位）．
表明当DP = 5时，点D恰好落在BC边上，这时y = 25．
另法 由Rt△ABD∽Rt△PCD′ 可求得DP．
（3）由（2）知，DP = 5是甲、丙两种情形的分界点．
当0≤x≤5时，由图甲知 y = S△AD′P = S△ADP =? AD ? DP = 5x．
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP = a，则 ∠AEB = 2a，∠FPC = 2a．
在Rt△ADP中，得 tana =
．
根据阅读材料，得 tan2a =
．
在Rt△ABE中，有 BE = ABtan2a =
=
．
同理，在Rt△PCF中，有 CF =（8－x）tan2a =
．
∴ △ABE的面积
S△ABE =? AB ? BE =×8×=
．
△PCF的面积
S△PCF =? PC ? CF =（8－x）×=
．
而直角梯形ABCP的面积为
S梯形ABCP =（PC + AB）×BC =（8－x + 8）×10 = 80－5x．
故重叠部分的面积 y = S梯形ABCP－S△ABE－S△PCF= 80－5x－－．
经验证，当x = 8时，y = 32.8适合上式．
综上所述，当0≤x≤5时，y = 5x；当5＜x≤8时，y = 80－5x－－．
阶梯计算系列答案
3、如下图过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（ ）
如下图，矩形ABCD的两对角线相交于点O，∠AOD=120°，AC=6cm；
如下图，矩形ABCD的两对角线相交于点O，∠AOD=120°，AC=6cm；
，求矩形ABCD的面积。