题目内容
如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．顶点为M，过点A的直线y=kx-4交y轴于点N．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；
（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；
（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c；
∵抛物线过点C（0，-12），
∴c=-12；（1分）
又∵它过点A（12，0）和点B（-4，0），
∴
，
解得
；
∴抛物线的函数关系式为y=
x2-2x-12，（3分）
抛物线的对称轴为x=4．（5分）
（2）解法一：
∵在y=kx-4中，当x=0时，y=-4，
∴y=kx-4与y轴的交点N（0，-4）；（6分）
∵y=
x2-2x-12=
（x-4）2-16，
∴顶点M（4，-16）；（7分）
∵AM2=（12-4）2+162=320，
AN2=122+42=160，
MN2=42+（16-4）2=160，
∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，
AN=MN；（9分）
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）
解法二：
过点M作MF⊥y轴于点F，则有
MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；（6分）
∴MF=ON，NF=OA，（7分）
又∵∠AON=∠MFN=90°，
∴△AON≌△NFM；（8分）
∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；（9分）
∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，
∴∠MNA=90；
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）
（3）存在，点P的坐标分别为：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）（14分）
参考解答如下：
∵y=kx-4过点A（12，0），
∴k=
；
直线l与y=
x-4平行，
设直线l的解析式为y=
x+b；
则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）；
∴OD=3OE；
设对称轴与x轴的交点为K；
（Ⅰ）以点E为直角顶点如图；
①根据题意，点M（4，-16）符合要求；
②过P作PQ⊥y轴，
当△PDE为等腰直角三角形时，
有Rt△ODE≌Rt△QEP，
∴OE=PQ=4，QE=OD；
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12，
∴OQ=8，
∴点P的坐标为（4，-8）；
（Ⅱ）以点D为直角顶点；
同理在图①中得到P（4，6），
在图②中可得P（4，-3）；
综上所得：满足条件的P的坐标为：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．
∵抛物线过点C（0，-12），
∴c=-12；（1分）
又∵它过点A（12，0）和点B（-4，0），
∴
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解得
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∴抛物线的函数关系式为y=
| 1 |
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抛物线的对称轴为x=4．（5分）
（2）解法一：
∵在y=kx-4中，当x=0时，y=-4，
∴y=kx-4与y轴的交点N（0，-4）；（6分）
∵y=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴顶点M（4，-16）；（7分）
∵AM2=（12-4）2+162=320，
AN2=122+42=160，
MN2=42+（16-4）2=160，
∴AN2+MN2=160+160=320=AM2，
AN=MN；（9分）
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）
解法二：
过点M作MF⊥y轴于点F，则有
MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；（6分）
∴MF=ON，NF=OA，（7分）
又∵∠AON=∠MFN=90°，
∴△AON≌△NFM；（8分）
∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；（9分）
∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，
∴∠MNA=90；
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）
（3）存在，点P的坐标分别为：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）（14分）
参考解答如下：
∵y=kx-4过点A（12，0），
∴k=
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直线l与y=
| 1 |
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设直线l的解析式为y=
| 1 |
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则它与x轴的交点D（-3b，0），与y轴交点E（0，b）；
∴OD=3OE；
设对称轴与x轴的交点为K；
（Ⅰ）以点E为直角顶点如图；
①根据题意，点M（4，-16）符合要求；
②过P作PQ⊥y轴，当△PDE为等腰直角三角形时，
有Rt△ODE≌Rt△QEP，
∴OE=PQ=4，QE=OD；
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12，
∴OQ=8，
∴点P的坐标为（4，-8）；
（Ⅱ）以点D为直角顶点；
同理在图①中得到P（4，6），
在图②中可得P（4，-3）；
综上所得：满足条件的P的坐标为：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．
练习册系列答案
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点，与y轴交于C点，且A、C坐标为（2，0）、（0，3）．
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下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼法；若不能，试说明理由．