题目内容
如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：
=
；
（3）若BC=
AB，求tan∠CDF的值．
（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；
（2）求证：
| BD |
| BE |
| CD |
| BC |
（3）若BC=
| 3 |
| 2 |
（1）∠CBD与∠CEB相等，
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴
=
，
（3）∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=
AB，
∴
=
，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=
x，
∴CD=（
-1）x，
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴
=
=
=
，
∵tan∠DBF=
=
，
∴tan∠CDF=
．
证明：∵BC切⊙O于点B，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
（2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴∠EBC=∠BDC，
∴△EBC∽△BDC，
∴
| BD |
| BE |
| CD |
| BC |
（3）∵AB、ED分别是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，即∠ADB=90°，
∵BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∵BC=
| 3 |
| 2 |
∴
| BC |
| AB |
| 3 |
| 2 |
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴OC=
| 10 |
∴CD=（
| 10 |
∵AO=DO，
∴∠CDF=∠A=∠DBF，
∴△DCF∽△BCD，
∴
| CD |
| BC |
| DF |
| BD |
(
| ||
| 3x |
| ||
| 3 |
∵tan∠DBF=
| DF |
| BD |
| ||
| 3 |
∴tan∠CDF=
| ||
| 3 |
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