题目内容
如图:在?ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F,EF⊥AC,连结AF、CE.
(1)求证:OE=OF;
(2)请判断四边形AECF是什么特殊四边形,请证明你的结论;
(3)若∠EAF=60°,AE=6,求四边形AECF的面积.
(1)求证:OE=OF;
(2)请判断四边形AECF是什么特殊四边形,请证明你的结论;
(3)若∠EAF=60°,AE=6,求四边形AECF的面积.
考点:菱形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质
专题:
分析:(1)由在?ABCD中,对角线AC与BD交于点O,易证得△OAE≌△OCF,即可得AE=CF,继而证得四边形AECF是平行四边形,则可得OE=OF;
(2)由四边形AECF是平行四边形与EF⊥AC,即可证得四边形AECF是菱形;
(3)由∠EAF=60°,AE=6,根据菱形的性质,即可求得AC与EF的长,继而求得答案.
(2)由四边形AECF是平行四边形与EF⊥AC,即可证得四边形AECF是菱形;
(3)由∠EAF=60°,AE=6,根据菱形的性质,即可求得AC与EF的长,继而求得答案.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
在△OAE和△OFC中,
,
∴△OAE≌△OCF(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴OE=OF;
(2)四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形AECF是平行四边形,EF⊥AC,
∴?AECF是菱形.
(3)解:∵四边形AECF是菱形,∠EAF=60°,
∴∠EAO=
∠EAF=30°,
∴OE=
AE=
×6=3,
∴OA=
=3
,
∴AC=2OA=6
,EF=2OE=6,
∴S四边形AECF=
AC•EF=
×6×6
=18
.
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,
在△OAE和△OFC中,
|
∴△OAE≌△OCF(AAS),
∴AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴OE=OF;
(2)四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形AECF是平行四边形,EF⊥AC,
∴?AECF是菱形.
(3)解:∵四边形AECF是菱形,∠EAF=60°,
∴∠EAO=
1 |
2 |
∴OE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴OA=
AE2-OE2 |
3 |
∴AC=2OA=6
3 |
∴S四边形AECF=
1 |
2 |
1 |
2 |
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点评:此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
练习册系列答案
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,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③b2=4a(c-1);④a+b+c<0;⑤2a+c<0.其中正确的个数是( )
1 |
2 |
A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
观察下列图形:
它们是按一定规律排列的,依照此规律,第9个图形中共有★( )
它们是按一定规律排列的,依照此规律,第9个图形中共有★( )
A、16个 | B、18个 |
C、20个 | D、24个 |