Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（

1

2

，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③b²=4a（c-1）；④a+b+c＜0；⑤2a+c＜0．其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0，
∴ac＜0．
故①正确；
②∵抛物线的对称轴直线x=-

b

2a

=

1

2

，
∴a=-b．
∴a+b=0．
故②正确；
③∵该抛物线的顶点坐标为（

1

2

，1），
∴1=

4ac-b2

4a

，
∴b²-4ac=-4a．
∴b²=4a（c-1）．
故③正确；
④∵根据图示知，当x=0时，y＞0，
∴根据抛物线的对称性知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0．
故④错误．
⑤∵a=-b，b²-4ac=-4a，
∴a²-4ac=-4a，
∵a≠0，
∴a=4c-4．
∴2a+c=8c-8+c=7c-8．
根据图示知，0＜c＜1，
∴0＜7c＜7，
∴2a+c=8c-8+c=7c-8＜0．
故⑤正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．