Question

【题目】“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：

如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；

小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：

（1）特殊情况入手

添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，AC之间的数量关系；

（2）解决原来问题

受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；

（3）解后反思

“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．

Answer 1

【答案】（1）AD=AC，AD+AB=AC；（2）AB+AD=AC，探究过程见解析；（3）AC= AB+AD．探究过程见解析.

【解析】

（1）根据∠B+∠D=180°且∠B=∠D知∠B=∠D=90°，由AC平分∠DAB，∠DAB=120°知∠DAC=∠BAC=60°，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半求解可得；

（2）先证△CDF≌△CBE得DF=BE，据此得AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=AC；

（3）延长AB到点E，使得AE=AC，据此可得△ACE为等边三角形，进一步知AC=EC，∠DAC=∠E=60°，证△ADC≌△EBC得AD=EB，进一步求解可得．

（1）∵∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，

∴∠B=∠D=90°，

又∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，

∴∠DAC=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠ACB=30°，

则AD=AC，AB=AC，

∴AD+AB=AC+AC=AC，

（2）∵AC为∠DAB的平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CF=CE．

∵∠B与∠ADC互补，∠ADC与∠CDF互补，

∴∠CDF=∠B．

又∵∠F=∠CEB=90°，

∴△CDF≌△CBE（AAS），

∴DF=BE．

∴AB+AD

=AE+BE+AD

=AE+DF+AD

=AE+AF

=AC，

即AB+AD=AC．

（3）如图，延长AB到点E，使得AE=AC．

∵∠CAB=∠BAD=60°，

∴△ACE为等边三角形．

∴AC=EC，∠DAC=∠E=60°．

又∵∠ABC与∠D互补，

∴∠D=∠CBE．

∴△ADC≌△EBC（AAS），

∴AD=EB．

∴AC=AE=AB+EB=AB+AD．