Question

如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30⁰．求CE的长．

Answer 1

（1）直线CD与⊙O相切（2）

解：（1）直线CD与⊙O相切。理由如下：
连接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。
∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM。
∴OC∥AM。
∵CD⊥AM ，∴OC⊥CD。
∵OC是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切。
（2）∵∠CAB=30⁰，∴∠COE=2∠CAB=60⁰。
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60⁰=。
（1）要证明过圆上已知点的直线是圆的切线时，只需连接圆心和这点，再证过已知点的半径垂直于这条直线即可。因此，连接CO，根据∠OCA=∠CAM，证明DC∥AD，再根据CD⊥AM，得OC⊥CD，从而证明CD是⊙O的切线。
（2）由题意得∠COE=2∠CAB=60⁰，则在Rt△COE中应用正切函数定义即可求解。.