题目内容

如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点D在边AB的延长线上,BD=3,过点D作DE⊥AB,与边AC的延长线相交于点E,以DE为直径作⊙O交AE于点F.

(1)求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离;
(2)连接CD,交⊙O于点G(如图2).求证:点G是CD的中点.
(1)3。2.4。
(2)证明见解析

试题分析:(1)根据勾股定理求出AC,证△ACB∽△ADE,得出,代入求出DE=6,AE=10,过O作OQ⊥EF于Q,证△EQO∽△EDA,代入求出OQ即可。
(2)连接EG,求出EG⊥CD,求出CF=ED,根据等腰三角形三线合一的性质求出即可。
解:(1)∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴由勾股定理得:AC=4。
∵AB=5,BD=3,∴AD=8。
∵∠ACB=90°,DE⊥AD,∴∠ACB=∠ADE。
∵∠A=∠A,∴△ACB∽△ADE。
,即。∴DE=6,AE=10。
∴⊙O的半径为3。
过O作OQ⊥EF于Q,则∠EQO=∠ADE=90°,

∵∠QEO=∠AED,∴△EQO∽△EDA。
,即
∴OQ=2.4,即圆心O到弦EF的距离是2.4。
(2)证明:连接EG,

∵AE=10,AC=4,∴CE=6。∴CE=DE=6。
∵DE为直径,∴∠EGD=90°。
∴EG⊥CD。
∴点G为CD的中点。
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