题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，过A(－2, 0), C(0, 6)两点的抛物线y＝－
x2＋ax＋b与x轴交于另一点B，点D是抛物线的顶点．
（1）求a、b的值；
（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．随着点P的运动，若以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；
(3)在直线AC上是否存在一点M，使△BDM的周长最小，若存在，请找出点M并求出点M的坐标．若不存在，请说明理由。
备用图
【答案】（1）a=2，b=6；
（2）Q(4,6)，Q
或
；
（3）存在一点M
，使△BDM的周长最小
【解析】试题分析：（1）把点A，C的坐标代入到解析式中，用待定系数法则可以求出a，b的值；
（2）设点P（t，0），由于平行四边形顶点的位置不确定，所以需要分类讨论，运用平移的性质，用含t的式子表示出点Q的坐标，把点Q的坐标代入到二次函数的解析式中，求出t，则可以得到点Q的坐标.
（3）作点B关于直线AC的对称点B′，连接BB′，交AC于点M，则点M就是所要求的点.过点B′作B′E⊥x轴，利用相似三角形得到B′的坐标，以B′D为直角的斜边构造直角三角形，则可得到M的坐标.
试题解析：(1)根据题意得
，把A（-2，0）代入得a=2.所以a=2，b=6.
（2）设P（t,0）,由（1）得，A（-2，0），C（0，6）.根据平移的性质得：
①
， 
，则Q（t+2，6），代入
，解得， 
， 
（舍），所以Q（4，6）.
②
， 
，则Q（t-2，-6），代入
，解得， 
， 
，所以Q（
，-6）或（
，-6）.
③
， 
，则Q（-t-2，6），代入
，解得， 
（舍）.
综上所述，Q(4,6)，Q（
，-6）或（
，-6）.
（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，连结BB′交AC于F．
连结B′D，B′D与AC的交点就是要求的点M．
作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．∵AO=2，CO=6，∴AC=
B(6，0)，D(2，8).
在Rt△BAF中， 
在Rt△BB′E中， 
.
因为点M在直线y＝3x＋6上，设点M的坐标为(x, 3x＋6)．
由
，得
.
图2 图3
