题目内容
【题目】(本题满分10分)在ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.
(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是 ;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是 ;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
【答案】(1)平行四边形(2)菱形(3)菱形(4)正方形
【解析】
试题(1)由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心,即可得出OE=OF、OG=OH;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的形状;
(2)当EF⊥GH时,平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分,故四边形EGFH是菱形;
(3)当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2);
(4)当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形,则对角线相等且互相垂直平分;
可通过证△BOG≌△COF,得OG=OF,从而证得菱形的对角线相等,根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状.
试题解析:解:(1)四边形EGFH是平行四边形.
证明:∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O.
∴点O是ABCD的对称中心.
∴EO=FO,GO=HO.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)菱形.
(3)菱形.
(4)四边形EGFH是正方形.
∵AC=BD,
∴ABCD是矩形.
又∵AC⊥BD,
∴ABCD是菱形.
∴ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC.
∵EF⊥GH ,
∴∠GOF=90°.
∴∠BOG=∠COF.
∴△BOG≌△COF.
∴OG=OF,
∴GH=EF.
由(1)知四边形EGFH是平行四边形,
又∵EF⊥GH,EF=GH.
∴四边形EGFH是正方形.