题目内容

【题目】已知函数f(x)=x2﹣x,g(x)=ex﹣ax﹣1(e为自然对数的底数).
(1)讨论函数g(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:∵g(x)=ex﹣ax﹣1,∴g'(x)=ex﹣a

①若a≤0,g'(x)>0,g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;

②若a>0,当x∈(﹣∞,lna]时,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x∈(lna,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.


(2)解:当x>0时,x2﹣x≤ex﹣ax﹣1,即

,则

令φ(x)=ex(x﹣1)﹣x2+1(x>0),则φ'(x)=x(ex﹣2)

当x∈(0,ln2)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;

当x∈(ln2,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增

又φ(0)=0,φ(1)=0,

∴当x∈(0,1)时,φ(x)<0,即h'(x)<0,∴h(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,φ(x)=(x﹣1)(ex﹣x﹣1>0,即h'(x)>0,

∴h(x)单调递增,

∴h(x)min=h(1)=e﹣1,

∴实数a的取值范围是(﹣∞,e﹣1].


【解析】(1)求出g'(x)=ex﹣a,由a≤0和a>0分类讨论,由此能求出结果.(2)当x>0时, ,则 令φ(x)=ex(x﹣1)﹣x2+1(x>0),则φ'(x)=x(ex﹣2),由此利用导数性质能求出实数a的取值范围.

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