Question

【题目】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH= ，CH=5 ．

（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；
（3）在（2）的条件下，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1所示：连接AC．

∵AB⊥CB，

∴AC是圆O的直径．

∵∠C=∠D，

∴tanC=3．

∴AB=3BC=3×2=6．

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40．

又∵AH2=10，CH2=50，

∴AC2+AH2=CH2．

∴△ACH为直角三角形．

∴AC⊥AH．

∴AH是圆O的切线．

（2）解：如图2所示：连接DE、BE．

∵AH是圆O的切线，

∴∠ABD=∠HAD．

∵D是 的中点，

∴ ．

∴∠CED=∠EBD．

又∵∠ABE=∠ADE，

∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED．

∴∠ABD=∠AFE．

∴∠HAF=∠AFH．

∴AH=HF．

（3）解：由切割线定理可知：AH2=EHCH，即（ ）2=5 EH．

解得：EH= ．

∵由（2）可知AF=FH= ．

∴EF=FH﹣EH= ．

【解析】（1）连接AC．由AB⊥BC可知AC是圆O的直径，由同弧所对的圆周角相等可知∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=40，从而可得到AC2+AH2=CH2 ， 由勾股定理的逆定理可知AC⊥AH，故此可知AH是圆O的切线；（2）连接DE、BE．由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是 的中点，可证明∠CED=∠EBD，由同弧所对的圆周角相等可知∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角的性质可证明：∠HAF=∠AFH，故此AH=HF；（3）由切割线定理可求得EH= ，由（2）可知AF=FH= ，从而得到EF=FH﹣EH= ．