题目内容
如图,△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D,过D作DH∥BC分别交EF、EB于G、H两点.下列结论:①S△EBD:S△FBD=BE:BF;②∠EFD=∠CFD;③HD=HF;④BH-GF=HG,其中正确结论的个数有( )
A.只有①②③ | B.只有①②④ | C.只有③④ | D.①②③④ |
①正确.
因为S△EBD=
BD•BE•sin∠EBD,S△FBD=
BD•BF•sin∠DBF,
所以S△EBD:S△FBD=
BD•BE•sin∠EBD:
BD•BF•sin∠DBF,
因为BD是∠EBC的平分线,
所以sin∠EBD=sin∠DBF,
所以S△EBD:S△FBD=BE:BF;
②正确.
过D作DM⊥AB,DN⊥CB,DO⊥EF,
∵DE是∠AEF的平分线,
∴AD-DO,
∵DB是∠ABC的平分线,
∴DA=DN,
∴DO=DN,
∴DF是∠EFC的平分线,
∴∠EFD=∠CFD;
③错误.
因为HD∥BF,
所以∠HDB=∠FBD,
又因为BD平分∠ABC,
所以∠HBD=∠CBD,
于是∠HBD=∠HDB,
故HB=HD.
但没有条件说明HF与HB必然相等;
④正确.
由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点,
故D为△BEF的旁心,
于是FD为∠EFC的平分线,
故∠CFD=∠EFD,
又因为DH∥BC,
所以∠HDF=∠CFD,
故∠GDF=∠DFE,
于是GF=GD,
又因为HB=HD,
所以HD-GD=HG,
即BH-GF=HG.
故①②④正确.
故选B.
因为S△EBD=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以S△EBD:S△FBD=
1 |
2 |
1 |
2 |
因为BD是∠EBC的平分线,
所以sin∠EBD=sin∠DBF,
所以S△EBD:S△FBD=BE:BF;
②正确.
过D作DM⊥AB,DN⊥CB,DO⊥EF,
∵DE是∠AEF的平分线,
∴AD-DO,
∵DB是∠ABC的平分线,
∴DA=DN,
∴DO=DN,
∴DF是∠EFC的平分线,
∴∠EFD=∠CFD;
③错误.
因为HD∥BF,
所以∠HDB=∠FBD,
又因为BD平分∠ABC,
所以∠HBD=∠CBD,
于是∠HBD=∠HDB,
故HB=HD.
但没有条件说明HF与HB必然相等;
④正确.
由于点D为△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线的交点,
故D为△BEF的旁心,
于是FD为∠EFC的平分线,
故∠CFD=∠EFD,
又因为DH∥BC,
所以∠HDF=∠CFD,
故∠GDF=∠DFE,
于是GF=GD,
又因为HB=HD,
所以HD-GD=HG,
即BH-GF=HG.
故①②④正确.
故选B.
练习册系列答案
相关题目