Question

在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x²+（k-1）x+2k-1的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，其中k是一元二次方程p²-p-2=0的根，且k＜0．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B两点的坐标；
（2）若直线l：y=mx（m≠0）与线段BC交于点D（点D不与点B、C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出该直线的解析式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵k是方程p²-p-2=0的根，
∴k=-1，或k=2．
又k＜0，
∴k=-1．
∴此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3．
令y=0得x₁=-1，x₂=3
∵点A在点B的左侧
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）假设满足条件的直线l存在
过点D作DE⊥x轴于点E
∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°
∴BC=3

2

要使以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，已有∠OBD=∠ABC，
则只需

OB

AB

=

DB

CB

①，或

OB

CB

=

DB

AB

②成立即可．
①当

OB

AB

=

DB

CB

时
有BD=

OB•BC

AB

=

9 2

4

．
在Rt△BDE中，
DE=BD•sin45°=

9

4

，BE=BD•cos45°=

9

4

∴OE=OB-BE=3-

9

4

=

3

4

．
∵点D在x轴的下方，
∴点D的坐标为（

3

4

，-

9

4

）．
将点D的坐标代入l：y=mx（m≠0）中，求得m=-3
∴满足条件的直线l的函数解析式为y=-3x．

②当

OB

BC

=

DB

AB

时
有BD=

OB•AB

BC

=2

2

同理可得：BE=DE=2，OE=OB-BE=3-2=1
∵点D在x轴下方
∴点D的坐标为（1，-2）．
将点D的坐标代入y=mx（m≠0）中，求得m=-2
∴满足条件的直线l的函数解析式为y=-2x．
∴综上所述满足条件的直线l的解析式是：y=-3x或y=-2x；
点D的坐标为（

3

4

，-

9

4

）或（1，-2）．