题目内容

已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点E,使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的E点坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)将A(-3,0),D(-2,-3)代入y=x2+bx+c,得:
9-3b+c=0
4-2b+c=-3

解得:
b=2
c=-3

∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.

(2)由:y=x2+2x-3得:
对称轴为:x=-
2
2×1
=-1

令y=0,则:x2+2x-3=0,
∴x1=-3,x2=1,
∴点B坐标为(1,0),
而点A与点B关于x=-1对称,
∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点.
过点D作DF⊥x轴于点F,则:DF=3,BF=1-(-2)=3,
在Rt△BDF中,BD=
32+32
=3
2

∵PA=PB,
∴PA+PD=PB+PD=BD=3
2

即PA+PD的最小值为3
2


(3)存在符合条件的点E,
①在y=x2+2x-3中,令x=0,则有:y=-3,故点C坐标为(0,-3),
∴CDx轴,
∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2,得BCDE1和BDCE2
此时:点C与点G重合,E1(-1,0),E2(3,0).
②∵BF=DF=3,∠DFB=90°,
∴∠FBD=45°,
当G3E3BD且相等时,有G3E3DB,作G3N⊥x轴于点N,
∵∠G3E3B=∠FBD=45°,∠G3NE3=90°,G3E3=BD=3
2

∴G3N=E3N=3;
将y=3代入y=x2+2x-3
得:x=-1±
7

∴E3的坐标为:(-1+
7
-3,0)

(-4+
7
,0)

同理可得:E4(-4-
7
,0)

综上所述:存在这样的点E,所有满足条件的E点坐标为:
E1(-1,0),E2(3,0),
E3(-4+
7
,0)
E4(-4-
7
,0)
练习册系列答案
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时间(x天)12345678910
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