题目内容
已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点E,使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的E点坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点E,使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的E点坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)将A(-3,0),D(-2,-3)代入y=x2+bx+c,得:
,
解得:
;
∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.
(2)由:y=x2+2x-3得:
对称轴为:x=-
=-1,
令y=0,则:x2+2x-3=0,
∴x1=-3,x2=1,
∴点B坐标为(1,0),
而点A与点B关于x=-1对称,
∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点.
过点D作DF⊥x轴于点F,则:DF=3,BF=1-(-2)=3,
在Rt△BDF中,BD=
=3
,
∵PA=PB,
∴PA+PD=PB+PD=BD=3
,
即PA+PD的最小值为3
.
(3)存在符合条件的点E,
①在y=x2+2x-3中,令x=0,则有:y=-3,故点C坐标为(0,-3),
∴CD∥x轴,
∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2,得BCDE1和BDCE2,
此时:点C与点G重合,E1(-1,0),E2(3,0).
②∵BF=DF=3,∠DFB=90°,
∴∠FBD=45°,
当G3E3∥BD且相等时,有G3E3DB,作G3N⊥x轴于点N,
∵∠G3E3B=∠FBD=45°,∠G3NE3=90°,G3E3=BD=3
,
∴G3N=E3N=3;
将y=3代入y=x2+2x-3
得:x=-1±
,
∴E3的坐标为:(-1+
-3,0),
即(-4+
,0),
同理可得:E4(-4-
,0),
综上所述:存在这样的点E,所有满足条件的E点坐标为:
E1(-1,0),E2(3,0),
E3(-4+
,0),E4(-4-
,0).
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解得:
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∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.
(2)由:y=x2+2x-3得:
对称轴为:x=-
2 |
2×1 |
令y=0,则:x2+2x-3=0,
∴x1=-3,x2=1,
∴点B坐标为(1,0),
而点A与点B关于x=-1对称,
∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点.
过点D作DF⊥x轴于点F,则:DF=3,BF=1-(-2)=3,
在Rt△BDF中,BD=
32+32 |
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∵PA=PB,
∴PA+PD=PB+PD=BD=3
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即PA+PD的最小值为3
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(3)存在符合条件的点E,
①在y=x2+2x-3中,令x=0,则有:y=-3,故点C坐标为(0,-3),
∴CD∥x轴,
∴在x轴上截取BE1=BE2=CD=2,得BCDE1和BDCE2,
此时:点C与点G重合,E1(-1,0),E2(3,0).
②∵BF=DF=3,∠DFB=90°,
∴∠FBD=45°,
当G3E3∥BD且相等时,有G3E3DB,作G3N⊥x轴于点N,
∵∠G3E3B=∠FBD=45°,∠G3NE3=90°,G3E3=BD=3
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∴G3N=E3N=3;
将y=3代入y=x2+2x-3
得:x=-1±
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∴E3的坐标为:(-1+
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即(-4+
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同理可得:E4(-4-
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综上所述:存在这样的点E,所有满足条件的E点坐标为:
E1(-1,0),E2(3,0),
E3(-4+
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