题目内容

如图,一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B.
(1)写出点B的坐标______;
(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,则点P的坐标为______.
(1)∵抛物线y=-x2+3x的对称轴为x=-
3
2×(-1)
=
3
2

∴当x=
3
2
时,y=-2x=-3,即B点(
3
2
,-3);

(2)设D(0,2a),则直线CD解析式为y=-2x+2a,可知C(a,0),即OC:OD=1:2,
则OD=2a,OC=a,根据勾股定理可得:CD=
5
a.
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似,
当∠CDP=90°时,

若PD:DC=OC:OD=1:2,则PD=
5
2
a,设P的横坐标是x,则P点纵坐标是-x2+3x,
根据题意得:
x2+(-x2+3x-2a)2=(
5
a
2
)2
(
5
a)2+(
5
a
2
)
2
=(-x2+3x)2+(x-a)2

解得:
x=
1
2
a=
1
2

则P的坐标是:(
1
2
5
4
),
若DC:PD=OC:OD=1:2,同理可以求得P(2,2),
当∠DCP=90°时,

若PC:DC=OC:OD=1:2,则P(
11
4
11
16
),若DC:PD=OC:OD=1:2,则P(
13
5
26
25
).
故答案为:(2,2),(
1
2
5
4
),(
11
4
11
16
),(
13
5
26
25
).
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