Question

如图，D是△ABC的边BC的中点,过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．
(1)证明：AB＝AC；
(2)证明：点O是△ABC的外接圆的圆心；
(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．

Answer 1

解:
(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．  (1分)
在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂线．)   (2分)
∴AB＝AC．   (3分)
(2)连BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO．  (或者：证全等也可得到BO＝CO．)
又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．     (4分)
∴点O是△ABC外接圆的圆心．      (5分)

（3）解法1：
∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠ABD=∠AEB．    又∵∠BAD=∠EAB，   ∴△ABD∽△AEB．
∴  (或者：由三角函数得到)     （6分）
在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=BC=3， ∴AD=4． （7分）
∴AE=．    (8分)
解法2：
∵AO＝BO， ∴∠ABO＝∠BAO．
∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．
∴∠OBE＝∠OEB， ∴OB＝OE．    (6分)
在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD=BC=3，∴AD=4．
设 OB＝x， 则 OD＝4－x，由3²+（4-x)²=x²,解得x=．  (7分)
∴AE＝2OB＝．(8分)
解法3：
设AO的延长线与⊙O交于点E₁，则AE₁是⊙O的直径， ∴∠ABE₁=90°．
在Rt△ABE和Rt△ABE₁中，∵∠BAE＝∠BAE₁，∠ABE＝∠ABE₁＝90°，AB＝AB,
∴△ABE≌△ABE₁，∴AE=AE₁．    (6分)   (同方法2) ∵BO=． （7分）
∴AE=2OB=．  (8分)

略