题目内容
【题目】如图,抛物线y=(x﹣3)2
与x轴交于A、B两点(点A在B的左侧),与y轴交于C点,顶点D.
(1)求点A、B、D三点的坐标;
(2)连结CD交x轴于G,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,交抛物线对称轴于E,求出E点的纵坐标;
(3)以②中点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.
【答案】(1)A(3﹣,0),B(3+
,0),D(3,﹣
);(2)E点的纵坐标为2;(3)P(3+
,1).
【解析】
(1)通过解方程(x﹣3)2
=0得A、B两点坐标;利用二次函数性质确定顶点D的坐标;
(2)先确定C(0,3),再利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=﹣x+3,则可得到G(2,0),抛物线的对称轴与x轴交于M点,如图,则M(3,0),然后证明Rt△OEM∽Rt△DGM,利用相似比求出EM,从而得到E点坐标;
(3)连接PE、EQ,如图,设P(x,(x﹣3)2
),利用切线的性质得PQ⊥EQ,则根据勾股定理得到PQ2=(x﹣3)2+[
(x﹣3)2
﹣2]2﹣12,然后进行配方得到PQ2=
[(x﹣3)2﹣5]2+5,从而利用二次函数的性质确定PQ的长最小时点P的坐标.
(1)当y=0时,(x﹣3)2
=0,解得:x1=3﹣
,x2=3+
,则A(3﹣
,0),B(3+
,0);
抛物线的顶点D的坐标为(3,﹣);
(2)当y=0时,y=(x﹣3)2
=
(0﹣3)2
=3,则C(0,3),设直线CD的解析式为y=kx+b,把C(0,3),D(3,﹣
)代入得:
,解得:
,∴直线CD的解析式为y=﹣
x+3,当y=0时,﹣
x+3=0,解得:x=2,则G(2,0),抛物线的对称轴与x轴交于M点,如图,则M(3,0).
∵OE⊥CD,∴∠DHE=90°,∴∠HDE=∠EOM,∴Rt△OEM∽Rt△DGM,∴=
,即
=
,解得:EM=2,∴E(3,2);
(3)连接PE、EQ,如图,设P(x,(x﹣3)2
).
∵PQ为⊙E的切线,∴PQ⊥EQ,∴PQ2=PE2﹣EQ2
=(x﹣3)2+[(x﹣3)2
﹣2]2﹣12
=(x﹣3)4﹣
(x﹣3)2+
=[(x﹣3)2﹣5]2+5,当(x﹣3)2﹣5=0,PQ有最小值,此时x=3±
.
∵点P在对称轴右侧的抛物线上,∴P点坐标为(3+,1).