Question

已知二次函数（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程的两根．

（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）解方程，得x=－5或x=1，
∵x₁＜x₂，∴x₁=﹣5，x₂=1。∴A（﹣5，0），B（1，0）。
∴抛物线的解析式为：（a＞0）。
∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（－2，－9a）。
令x=0，得y=－5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）。
依题意画出图形，如图所示，

则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。
过点D作DE⊥y轴于点E，
则DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。
∴
。
而，
∴。
（2）如图所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，
设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²。
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即，化简得：。
∵a＞0，∴。
∴抛物线的解析式为：，即。

解析