Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x²﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x²﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。
∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6。∴BD=4。
∵点B在函数y=x²﹣3x的图象上，
∴4=x²﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点。
∴点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在。
∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。
设P点坐标为（x，x²﹣3x）。
∴。
若，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。
若，解得x="2" 或x=0（舍去）。
当x=2时，x²﹣3x=﹣2。
∴点P 的坐标为（2，﹣2）。
∴。
∵∠POB=90°，∴△POB的面积为： PO•BO=××=8。

解析