题目内容

如图,已知:如图①,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到O点停止);对称轴过点A且顶点为M的抛物线(a<0)始终经过点E,过E作EG∥OA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,运动时间为t秒.

(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;
(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?判断此时△AFG与△AGB是否相似,并说明理由;
(3)当△ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式.

解:(1)在直线解析式中,令x=0,得y=;令y=0,得x=1。
∴A(1,0),B(0,),OA=1,OB=
∴tan∠OAB=。∴∠OAB=60°。∴AB=2OA=2。
∵EG∥OA,∴∠EFB=∠OAB=60°。
,BF=2EF=2t。
∴AF=AB﹣BF=2﹣2t。
(2)①∵EF∥AD,且EF=AD=t,∴四边形ADEF为平行四边形。
ADEF是菱形,则DE=AD=t.
由DE=2OD,即:t=2(1﹣t),解得t=
∴t=时,四边形ADEF是菱形。
②此时△AFG与△AGB相似。理由如下:
如答图1所示,连接AE,

∵四边形ADEF是菱形,
∴∠DEF=∠DAF=60°。∴∠AEF=30°。
由抛物线的对称性可知,AG=AE。
∴∠AGF=∠AEF=30°。
在Rt△BEG中,BE=,EG=2,
。∴∠EBG=60°。
∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°。
在△AFG与△AGB中,∵∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,
∴△AFG∽△AGB。
(3)当△ADF是直角三角形时,
①若∠ADF=90°,如答图2所示,

此时AF=2DA,即2﹣2t=2t,解得t=
∴BE=t=,OE=OB﹣BE=
∴E(0,),G(2,)。
设直线BG的解析式为y=kx+b,
将B(0,),G(2,)代入得:
,解得
∴直线BG的解析式为
令x=1,得,∴M(1,)。
设抛物线解析式为
∵点E(0,)在抛物线上,
,解得
∴抛物线解析式为,即
②若∠AFD=90°,如答图3所示,

此时AD=2AF,即:t=2(2﹣2t),解得:t=
∴BE=t=,OE=OB﹣BE=
∴E(0,),G(2,)。
设直线BG的解析式为y=k1x+b1
将B(0,),G(2,)代入得:
,解得
∴直线BG的解析式为
令x=1,得y=,∴M(1,)。
设抛物线解析式为
∵点E(0,)在抛物线上,
,解得
∴抛物线解析式为,即
综上所述,符合条件的抛物线的解析式为:

解析试题分析:(1)首先求出一次函数与坐标轴交点A、B的坐标,然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长。
(2)由EF∥AD,且EF=AD=t,则四边形ADEF为平行四边形,若?ADEF是菱形,则DE=AD=t.由DE=2OE,列方程求出t的值;
如答图1所示,推出∠BAG=∠GAF,∠ABG=∠AGF=30°,证明△AFG与△AGB相似。
(3)当△ADF是直角三角形时,有两种情形,需要分类讨论:
①若∠ADF=90°,如答图2所示.首先求出此时t的值;其次求出点G的坐标,利用待定系数法求出直线BG的解析式,得到点M的坐标,最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。
②若∠AFD=90°,如答图3所示,解题思路与①相同。

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